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06 Conduzione del calore in regime transitorio

Page history last edited by Francesco Martellotta 13 years, 4 months ago
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Conduzione del calore in regime transitorio

 

In questa parte si presentano i fondamenti teorici della conduzione in regime transitorio, con l'esposizione dell'equazione generale della trasmissione del calore, prendendo poi in esame alcune soluzioni semplificate al problema, fra cui la schematizzazione del sistema come sistema a parametri concentrati.

 


 

L'equazione generale della trasmissione

 

La conduzione termica è il trasferimento di energia che si verifica per effetto dell’interazione delle particelle di una sostanza dotate di maggiore energia con quelle adiacenti dotate di minore energia. La conduzione termica può avvenire in regime stazionario e non stazionario. Nel primo caso si assume che la distribuzione di temperatura non vari nel tempo, escludendo quindi fenomeni di accumulo o dissipazione, mentre nel secondo, tipico dei fenomeni transitori, si dovranno prendere in considerazione anche questi aspetti e le relative proprietà fisiche.

 

Consideriamo un elementino di volume, di lati dx, dy, dz, posto all'interno di un corpo attraversato da una quantità di calore dQ, scomponibile nelle sue componenti secondo gli assi x, y, z.

 

 

Facendo riferimento ad una sola dimensione per semplificare il ragionamento, possiamo chiamare dQx la componente che attraversa l'elementino attraverso la faccia dydz. Per il postulato di Fourier (Eq. 5.3), tenendo presente che Formula, detta quantità dipenderà dal gradiente di temperatura in corrispondenza della faccia considerata e sarà pari a:

Formula,

mentre quella che attraversa la seconda faccia sarà:

Formula

 

In generale in regime transitorio la quantità di calore che entra non è uguale a quella che esce, pertanto si ha:

Formula                

in cui, sostituendo al prodotto dx dy dz il volume dV dell'elementino, si ha:      

Formula

 

La quantità di calore che si accumula all'interno dell'elementino di volume dV darà poi luogo ad una variazione di temperatura, in accordo con l'Eq. 5.2

Formula 

 

Uguagliando l’equazione 6.1 con la 6.2 si ottiene:

Formula

 

Ed infine, eliminando i termini comuni :

 

Formula

 

E richiamando il concetto di diffusività introdotto nell'Eq. 5.3, si giunge alla EQUAZIONE GENERALE DI FOURIER per il caso monodimensionale:

 

Formula

 

Nel caso tridimensionale, al primo menbro andranno sommati i contributi delle derivate seconde di T nelle altre direzioni, ottenendo così il Laplaciano della temperatura, rappresentato dal simbolo Formula:

 

 Formula 

 

E' abbastanza facile dimostrare che nel caso monodimensionale e stazionario (Formula) l'Eq. 6.4 si riconduce al posulato di Fourier per la conduzione (Eq. 5.4).

 

 

 

Sistemi a parametri concentrati

 

Studiando la trasmissione del calore, si osserva che alcuni corpi si comportano come un “insieme concentrato” di temperatura interna essenzialmente uniforme in ogni istante durante il processo di scambio termico e funzione del tempo soltanto , T(t). Lo studio della trasmissione del calore basato su questa idealizzazione, si dice studio di un sistema a parametri concentrati.

Si consideri un corpo di forma arbitraria di massa m, volume V, area superficiale A , densità ρ, e calore specifico cp, inizialmente con temperatura uniforme Ti .

 

Posto l’istante t = 0 in un ambiente a temperatura FormulaSe Formula si avrà trasmissione di calore dall’ambiente al corpo con un coefficiente di scambio termico h , al contrario per Formula.

L'ipotesi che la temperatura di tutta la massa m sia uniforme ci consente di scrivere un'equazione nella quale possiamo eguagliare la quantità di calore che entra (o esce) attraverso l'involucro del corpo con la corrispondente variazione di temperatura, trascurando di fatto il contributo che la conducibilità dà alla variazione di temperatura entro il corpo stesso (in altre parole ipotizzando una conducibilità infinitamente grande).

Pertanto se durante un intervallo infinitesimo di tempo dt la temperatura del corpo aumenta di una quantità infinitesima dT, il bilancio di energia del solido nell’intervallo di tempo dt è espresso dalla relazione :

 

Formula

 

Tenendo presente che Formula Formula, essendoFormula = costante, l’equazione si può riscrivere nella forma:

 

Formula

 

e integrando dall’istante t = 0, per cui T = Ti, a un generico istante t , per cui T = T (t), si ottiene

 

Formula  

considerando l’esponenziale di entrambi i membri dell’equazione precedente si ha :

 

Formula

 

maggiore sarà b tanto più rapido sarà il processo.

 

L ‘equazione 3.5 è diagrammata in figura per valori diversi di b.       

 

     

 

Da questa figura si deduce che quando b assume un valore grande il corpo si avvicinerà alla temperatura ambiente in breve tempo.

 

Affinchè il modello a parametri concentrati possa essere effettivamente impiegato è necessario che il corpo si avvicini il più possibile alla condizione di temperatura uniforme, il che può essere ottenuto con una conducibilità elevata, oppure da un apporto modesto di energia termica attraverso il contorno, conseguente ad un valore del coefficiente di scambio termico convettivo basso, oppure ancora da un volume piccolo rispetto alla superficie di contorno. Pertanto, prima di applicare il modello a èparametri concentrati è necessario verificare se il sistema in esame soddisfa i requisiti richiesti. Per fare ciò si prendono in esame la lunghezza caratteristica  data dalla relazione : Lc = V/A e il numero di Biot dato dalla relazione: Formula 

che rappresenta il rapporto (adimensionale) tra la quantità di calore scambiato superficialmente e la quantità di calore scambiato all’interno.  Poiché nello studio di un sistema a parametri concentrati si ipotizza una distribuzione di temperatura uniforme, cosa che si verifica solo quando la resistenza termica del corpo alla conduzione di calore è nulla, lo studio di un sistema a parametri concentrati è esatto quando Bi = 0 ed è approssimato quando Bi >0. Si ritiene in generale applicabile se comunque si ha Bi < 0,1. E' possibile verificare che il metodo a parametri concentrati si applica bene a corpi piccoli con conducibilità termica elevata e, preferibilmente, immersi in un fluido immobile che non conduce bene il calore.

 

Esempio

 

 

Conduzione termica in regime variabile in solidi semi-infiniti

 

Un solido semi-infinito è un corpo idealizzato che ha un’unica superficie piana e si estende all’infinito in tutte le direzioni. In questo tipo di solido il flusso è monodirezionale per cui l'Eq. 6.4 si riduce alla 6.3.

              

 

 

Si consideri un solido semi-infinto alla temperatura uniforme Formula. Supponiamo che la temperatura della superficie del corpo semi-infinito si porti immediatamente alla temperatura Formula.

La soluzione esatta del problema, ottenuta per integrazione dell'Eq. 6.3 è espressa dalla relazione:

 

Formula

 

Dover erf e erfc rappresentano rispettivamente la funzione degli errori e il complemento della funzione degli errori, il cui argomento η è un parametro combinato che tiene conto sia dell'effetto della posizione, sia del tempo.

 

Con qualche ulteriore sviluppo l’equazione precedente si riduce a :

Formula 

 

 

 

 

                      

Dal grafico si deduce che se α è maggiore η è più piccola e la T sarà più vicina alla T∞.

Se α è più piccola ne consegue che η sarà più grande e la T sarà più simile alla T iniziale.

 

Nel caso in cui la distribuzione di temperatura sia nota è possibile determinare il flusso di potenza termica (cioè la potenza per unità di superficie) che attraversa la faccia esposta del solido semi-infinito:

 

Formula

 

Questa equazione è paricolarmente interessante in quanto ci permette di comprendere come varia la temperatura superficiale Ts quando due corpi di diverse caratteristiche (e diverse temperature inziali) vengono in contatto. Se infatti i due corpi avessero temperature TA e TB rispettivamente e avessero esattamente le stesse caratteristiche temiche (conducibilità, capacità termica, ecc) la temperatura sulla superficie di contatto non potrebbe che essere la media aritmetica di TA e TB. Tuttavia se le proprietà differiscono la temperatura Ts dovrà assumere un valore tale da assicurare che la potenza termica che fluisce dal corpo A eguagli quella che fluisce nel corpo B (o vicerversa).  Dalla Eq. 6.7 si ottiene allora:

 

Formula

 

da cui si evince che il salto termico sarà maggiore per il "lato" avente il maggiore prodotto fra capacità termica e conducibilità. Sviluppando ulteriormente la precedente relazione è possibile esplicitare la sola Ts, ottenendo la seguente relazione:

 

Formula

 

Questo spiega, ad esempio, perchè un oggetto di metallo ed uno di legno, pur trovandosi nello stesso ambiente, e quindi alla stessa temperatura iniziale, forniscono una diversa sensazione termica, con il primo che appare più freddo del secondo. Infatti i valori di Formula rispettivamente per l'alluminio, il legno e la pelle umana sono di 24 kJ/m2K, 0.38 kJ/m2K e 1.1 kJ/m2K. Pertanto ne deriva che ipotizzando la temperatura della pelle pari a 35°C e quella delle superfici pari a 15°C, quando si tocca l'alluminio la temperatura di equilibrio è pari a 15.9°C, mentre quando si tocca il legno la temperatura di equilibrio diventa 30°C.

 


 

 

Ipotizziamo ora che sulla superficie esterna del solido semi-infinito ci sia una variazione sinusoidale di temperatura.

Sia Ti la temperatura del mezzo in condizioni indisturbate, chiamando T0 la semi-ampiezza della variazione periodica, t0 il suo periodo, e indicando con ω la pulsazione pari a 2π/t0, la variazione di temperatura sulla faccia esposta sarà: 

Formula

 

  

 

 

 

Integrando l'Eq. 6.3, si ottiene che la temperatura in un generico punto a distanza x dalla superficie di contatto è data da:

Formula

 

con Formula, che interviene sia a smorzare l'ampiezza dell'oscillazione in modo proporzionale alla distanza, sia a sfasarla rispetto alla sollecitazione esterna. Pertanto la variazione di temperatura entro la parete sarà tanto meno accentuata e tanto più sfasata quanto minore sarà la diffusività, ovvero quanto maggiore sarà la capacità termica rispetto alla conducibilità.

 

 

 

 

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