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05 Conduzione del calore in regime stazionario

Page history last edited by Francesco Martellotta 10 years, 12 months ago
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La conduzione del calore

 

 

In questa lezione si introduce lo scambio termico che avviene nei corpi solidi e nei fluidi per i quali le particelle siano impossibilitate a muoversi, allorchè parti di essi si trovino a diversa temperatura. Si introduce il concetto di conducibilità e si analizzerà la conduzione in pareti semplici e composte in condizioni stazionarie.

 


 

La conduzione termica è il trasferimento di energia che si verifica per effetto dell'interazione delle particelle di una sostanza dotate di maggiore energia con quelle adiacenti dotate di minore energia. Può avvenire nei solidi o nei fluidi. Nell'ultimo caso avviene per effetto delle collisioni tra le molecole durante il loro moto casuale; nei solidi è dovuta alle vibrazioni delle particelle all'interno del reticolo e al trasporto di energia da parte degli elettroni.

 

 

[Clicca QUI per fare partire l'animazione]

 

La potenza termica che si propaga dipende dalla geometria del corpo, dalle sue caratteristiche (proprietà fisiche) e dalla differenza di temperatura a cui il corpo è soggetto. Se si considera il semplice caso di una parete piana sufficientemente estesa, avente uno spessore  Δx e un'area A, nell'ipotesi che le due facce della parete si trovino rispettivamente a temperatura T1 e T2 invarianti nel tempo (regime stazionario), con T1>T2, si osserva che la potenza termica Formula che attraversa la parete è direttamente proporzionale alla differenza di temperatura e all'area A della superficie normale alla direzione di propagazione del flusso, ed è inversamente proporzionale allo spessore dello strato.

 

 

 

Formula

 

ovvero, tradotto in formule:

 

Formula

 

La costante λ che compare nell'equazione è la conducibilità termica del materiale, cioè la proprietà che misura la maggiore o minore attitudine del materiale a lasciarsi attraversare dal calore. L'analisi dimensionale ci mostra che l'unità di misura SI della conducibilità è il W/(m K), ovvero la conducibilità rappresenta la potenza termica trasmessa per unità di area attraverso uno spessore unitario di parete quando questo è sottoposto ad una differenza unitaria di temperatura. 

Un valore elevato di conducibilità termica denota che il materiale è un buon conduttore: il rame ad esempio, come tutti i buoni conduttori elettrici, ha una conducibilità elevata, pari a circa 400 W/(m K). In questo caso infatti alla propagazione dovuta alle onde di vibrazione del reticolo (prodotte dal movimento vibratorio delle molecole che occupano posizioni relativamente fisse), si associa l'energia trasportata dal flusso libero di elettroni. Peraltro, i solidi caratterizzati da una struttura molecolare altamente ordinata (diamante) sono caratterizzati da una pessima conducibilità elettrica ma da una elevata conducibilità termica.

Un basso valore della conducibilità termica denota invece che il materiale è un buon isolante, così ad esempio i gas (caratterizzati da una densità di gran lunga inferiore a quella dei solidi) hanno una conducibilità assai modesta, compresa fra 0.1 e 0.02 W/(m K). In particolare, la teoria cinetica dei gas stabilisce che la conducibilità dei gas è proporzionale alla radice quadrata della temperatura assoluta ed è inversamente proporzionale alla radice quadrata della massa molare M. A parità di temperatura, quindi, l'aria (M=29) o l'argon (M=40) isolano meglio dell'elio (M=4).

Per i liquidi la situazione è intermedia, poichè la densità è maggiore rispetto ai gas e le interazioni di forze fra particelle vicine sono maggiori.

In tutti i casi la conducibilità termica mostra una dipendenza dalla temperatura sebbene, per gli usi pratici si faccia uso di un valore costante calcolato ad una temperatura media.

 

[Clicca qui per aprire la tabella delle conducibilità]

 

E' importante sottolineare a questo punto la differenza fra la conducibilità termica e la capacità termica di un materiale. Mentre la prima misura l'attitudine a lasciarsi attraversare dal calore, la seconda esprime la capacità di accumulo di calore da parte dello stesso materiale. La capacità termica è data dal prodotto della densità ρ (kg/m3) per il calore specifico cp [kJ/(kg K)] e misura la capacità che il materiale ha di accumulare calore per unità di volume. Un materiale con una maggiore capacità termica richiede una maggior quantità di calore per incrementare di una unità la propria temperatura.

Ricordando la definizione di calore specifico cp

Formula

ne deriva che la quantità di calore necessaria per incrementare la temperatura di un corpo di un Δt sarà pari a:

Formula

 

Ad esempio l'acqua ha un cp= 4.18 kJ/kgK, mentre la sabbia ha un cp= 0.8 kJ/kgK, le densità sono rispettivamente 1000 kg/m3 e  1520 kg/m3, pertanto ciò significa che ipotizzando entrambe le superfici irradiate da una medesima quantità di energia termica, tenendo conto che 

 

Formula

 

si avrà che:

 

Formula

 

cioè la temperatura della sabbia aumenta 3.44 volte più rapidamente di quella dell'acqua.

 

Il rapporto fra il calore trasmesso per conduzione e quello immagazzinato rappresenta un parametro di grande importanza nello studio dei fenomeni transitori, non a caso esso compare nell'equazione generale dello scambio termico sotto il nome di diffusività termica:

 

Formula

 

 

Il postulato di Fourier per la conduzione

 

Ipotizzando che nell'Eq. 5.1 lo spessore della parete tenda a zero (ovvero applicando l'equazione ad uno spessore infinitesimo di parete) e conservando le ipotesi di flusso stazionario e monodimensionale, si giunge alla forma differenziale della stessa equazione, nota come postulato di Fourier per la conduzione:

 

Formula 

 

Nell'equazione 5.4 dT/dx rappresenta il gradiente termico, ovvero la pendenza della curva di temperatura su un diagramma T-x, parametro assai importante dal momento che, a parità di λ ed A, la potenza termica trasmessa è ad esso proporzionale. Poichè il calore si trasmette spontaneamente nel verso delle temperature decrescenti nella Eq. 2.4 si pone il segno negativo in modo da rendere positiva la potenza termica trasmessa nel verso positivo di x.

 

 

 

 

 

E' agevole dimostrare come applicando l'Eq. 5.4 ad una parete piana di spessore L, area A, soggetta ad una differenza di temperatura T1 - T2 è possibile ottenere nuovamente l'Eq. 2.1.

 

 

Formula

 

 

Formula    

 

Esempio 5.1

Calcolare la potenza termica che attraversa una superficie vetrata dello spessore di 8 mm avente dimensioni di 1.2x2.0 m nell'ipotesi che le due facce si trovino rispettivamente alla temperatura di 15°C e 5°C. Si assuma λ = 0.78 W/m°C 

 

Impiegando l'Eq. 5.5 ed esprimendo tutte le grandezze con le giuste unità di misura, si ottiene:

 

Formula

 

 

La conduzione nelle pareti multiple

 

Nel caso in cui la conduzione di calore avvenga attraverso una parete composta da due o più strati omogenei è possibile scrivere per ciascuno strato l'equazione 5.5, ottenendo:

Formula

poichè, d'altra parte, in condizioni stazionarie la potenza termica che attraversa ciascuno strato deve essere la stessa (poichè non sono ammissibili accumuli o sottrazioni) e tale quantità deve coincidere con la potenza che complessivamente attraversa la parete, è possibile scrivere:

Formula

A tal punto è possibile introdurre (in analogia con la resistenza elettrica), il concetto di resistenza termica, inteso come il rapporto fra lo spessore della parete i-esima e il corrispondente prodotto fra λi ed A:

Formula

 

In tal modo sostituendo nell'Eq. 5.5, dall'uguaglianza delle potenze termiche trasmesse deriva:

Formula

e tenendo conto che in una uguaglianza di rapporti è possibile sommare fra loro i numeratori e i denominatori senza modificare il rapporto stesso si ottiene, sommando i primi due termini

Formula, ovvero Formula

Ciò può essere verificato anche graficamente riportando le resistenze termiche sull'asse delle x e la temperatura su quello delle y. Osservando che il rapporto ΔT/R rimane costante in ciascuno strato è possibile dedurre che esso sarà anche uguale al rapporto fra (T1-T2) e la resistenza totale ottenuta come somma delle resistenze i-esime.

 

Dal grafico R-T, ovvero dall'Eq. 5.7, è altresì possibile determinare la temperatura Ti nello strato intermedio, solitamente incognita dal momento che ciò che è noto sono le temperature delle facce più esterne. E' possibile quindi scrivere:

Formula

ovviamente generalizzabile nel caso di pareti multistrato.

La variazione fra temperatura massima T1 e la temperatura Ti in un punto è proporzionale alla differenza di temperatura totale (T1 - T2) mediante il rapporto fra le resistenze termiche attraversate dal flusso termico fino a quel punto, e la resistenza termica totale. Più elevata sarà la resistenza termica attraversata, maggiore sarà il salto termico osservato. Pertanto la distribuzione di temperatura in funzione della distanza dalla parete (fig. a sinistra) non seguirà un andamento uniforme, ma mostrerà salti termici più elevati negli strati con maggiore resistenza termica (indipendentemente dal loro spessore).

 

Esempio 5.2

Ripetere il calcolo dell'esempio precedente nell'ipotesi che il serramento sia costituito da due cristalli di spessore 4 mm di uguali caratteristiche (λ = 0.78 W/m°C ) separati da una intercapedine d'aria (λ = 0.026 W/m°C ) dello spessore di 10 mm.

 

Per risolvere l'esercizio è necessario procedere al calcolo delle resistenze termiche relative a ciascuno strato. Chiamando 1 e 3 gli strati vetrati e 2 lo strato di aria si ha:

 

Formula

Formula

Formula

 

Da cui si evince che il contributo dei vetri alla resistenza termica totale è sostanzialmente trascurabile rispetto al contributo, ben più significativo, dello strato di aria. La potenza termica trasmessa può quindi essere calcolata con l'Eq. 5.7:

 

Formula

 

Pertanto l'introduzione della camera d'aria consente di ottenere una considerevole riduzione della potenza termica trasmessa.

 

 

 

Uno degli aspetti più interessanti del ricorso al concetto di resistenza termica è che essa consente di trattare in maniera unificata tutti i meccanismi di trasmissione del calore. Infatti, come si vedrà meglio nelle sezioni successive, la potenza termica scambiata a livello superficiale sulle facce interne ed esterne della parete, sia per convezione sia per irraggiamento, può essere espresso secondo la legge di Newton, la quale può essere agevolmente riscritta in termini di resistenza termica superficiale:

 

Formula

 

In tal modo l'Eq. 5.7 può essere generalizzata sia ad un numero qualsiasi di strati contigui, a condizione che siano sempre soddisfatte le condizioni di isotermia lungo tutto il confine fra due strati adiacenti, sia agli effetti convettivi e radiativi che avvengono a livello superficiale. Quando sia nota la resistenza totale è altresì possibile introdurre il concetto di trasmittanza globale U definita come l'inverso della resistenza totale per unità di area:

Formula 

Tale grandezza risulta particolarmente utile nel calcolo delle dispersioni termiche attraverso l'involucro edilizio, dal momento che consente di esprimere la potenza termica come: Formula.

 

 

 

 

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